1. 如何理解递归?

递归是一种应用非常广泛的编程技巧,比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等都是使用递归。

一个递归求解问题的分解过程,去的过程叫“递”,回来的过程叫“归”。基本上,所有的递归问题都可以用递推公式来表示。比如:

f(n) = f(n-1) + 1,其中 f(1) = 1。

递归的优点和缺点:

  • 优点:递归代码的表达力很强,写起来非常简洁。
  • 缺点:空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。

2. 递归需要满足的三个条件

  1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解

  2. 这个问题与分解之后的子问题,除了数据规模不同,求解思路完全一样

  3. 存在递归终止条件

3. 如何编写递归代码?

写递归代码最关键的是写出递推公式,找到终止条件,剩下将递推公式转化为代码就容易了。

假如这里有 n 个台阶,每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶,请问走这 n 个台阶有多少种走法?

仔细想下,n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后,n-1 个台阶的走法,加上先走 2 阶后,n-2 个台阶的走法。递归终止条件是 f(1)=1,f(2)=2。其实这就是著名的斐波那契数列。

f(n) = f(n-1) + f(n-2),其中 f(1) = 1,f(2) = 2。

最终的递归代码:

int f(int n) {
	if (n == 1) {
		return 1;
	}
	if (n == 2) {
		return 2;
	}
	return f(n-1) + f(n-2);
}

总结一下,写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律,并且基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

只要遇到递归,就把它抽象成一个递推公式,不用想一层层的调用关系,不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

4. 警惕堆栈溢出和重复计算

函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数,都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈,等函数执行完成返回时,才出栈。如果递归求解的数据规模很大,调用层次很深,一直压入栈,就会有堆栈溢出的风险。

可以通过限制递归调用的最大深度的方式,来解决堆栈溢出。

比如上面的递归,想要计算 f(5),需要先计算 f(4) 和 f(3),而计算 f(4) 还需要计算 f(3),因此,f(3) 就被计算了很多次,这就是重复计算问题。

可以通过一个数据结构(比如散列表)来保存已经求解过的值,解决重复计算。

5. 将递归代码改为非递归

笼统地讲,如果我们自己在内存堆上实现栈,手动模拟入栈、出栈过程,这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。

将斐波那契数列改为非递归方式实现:

int f(int n) {
	if (n == 1) {
		return 1;
	}
  if (n == 2) {
    return 2;
  }
  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i < n; i++) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

练习题

  • 编程实现求阶乘n!
  • 编程实现一组数据集合的全排列